☛ Dénombrer des anagrammes

Énoncé 1  Sans répétition de lettre

« Niche » et « chien » sont des anagrammes. De même que « écrit » et « récit ».
Combien d'anagrammes possibles existe-t-il du mot « niche » ?

Énoncé 2  Avec répétition d'une lettre

Si on ne compte pas les accents, les mots « trêve » et « verte » sont des anagrammes.
On souhaite dénombrer les anagrammes du mot « verte ».

1. Dénombrer le nombre d'emplacements des deux lettres E dans le mot.
2. En déduire le nombre de manières de placer les trois lettres restantes dans le mot.
3. En déduire le nombre d'anagrammes du mot « verte ».

Solution

1. Pour former une anagramme (à \(5\) lettres) de ces mots qui contiennent un V, un R, un T et deux E, on peut commencer par choisir les emplacements, dans le mot, des  \(2\) lettres E.
\(\displaystyle \binom 52 = 10\) .
On a donc  \(10\) manières différentes de choisir les emplacements des  \(2\) lettres E.

2. Une fois que les emplacements des  \(2\) lettres E sont fixés, il reste à positionner les \(3\) lettres restantes dans les \(3\) emplacements restants.
\(3! = 6\) . 
Il y a donc \(6\) manières de positionner les \(3\) lettres restantes dans les \(3\) emplacements restants.

3. Enfin, par le principe multiplicatif, on a \(10 × 6 = 60\) .
Il y a donc \(60\) anagrammes différentes (que les mots obtenus aient un sens ou non).

Remarque

En calculant avec les factorielles le nombre d'anagrammes de l'exemple précédent, on a :  \(\displaystyle \binom 52\times 3! = \dfrac{5!}{2!\times 3!}\times 3! = \dfrac{5!}{2!}\) .

Propriété  Permutations avec répétition d'un élément

Soit  \(n\) un entier naturel non nul. Soit \(k\) un entier naturel tel que \(2⩽ k ⩽ n\) .
S'il existe \(k\) répétitions d'un même élément parmi les \(n\) éléments, le nombre de permutations possibles des \(n\) éléments est alors  \(\dfrac{n!}{k!}\) .

Énoncé 3  Avec répétition d'une lettre

Sans tenir compte des accents ni de l'espace entre les mots, « plein été » et « épile net » sont des anagrammes.
Dénombrer les anagrammes de l'expression « plein été » (sans tenir compte des accents ni de l'espace entre les mots).

Énoncé 4  Avec répétitions de plusieurs lettres

« Pablo Picasso » et « Pascal Obispo » sont des anagrammes. En utilisant la démarche de l'exercice 2 ci-dessus, dénombrer les anagrammes de « Pascal Obispo » (sans tenir compte de l'espace entre les mots).

Remarque

En calculant avec les factorielles le nombre d'anagrammes de l'exercice précédent, on a : 
\(\begin{array}[t]{rcl}\displaystyle \binom{12}{2}\times \binom{10}{2}\times \binom{8}{2} \times \binom{6}{2} \times 4! & = & \dfrac{12!}{10! \times 2!}\times \dfrac{10!}{8! \times 2!}\times \dfrac{8!}{6! \times 2!}\times \dfrac{6!}{4! \times 2!}\times 4!\\& = & \dfrac{12!}{2!\times 2! \times 2! \times 2!} \\ \end{array}\)

Propriété  Permutations avec plusieurs répétitions

Soit  \(n\) un entier naturel non nul.
Une permutation de \(n\) éléments de \(E\)  comprenant   \(n_1\) , \(n_2\) , ..., \(n_k\) répétitions est une liste de \(n\) éléments de \(E\) dans laquelle chacun des éléments \(x_1\) , \(x_2\) , ..., \(x_k\) de \(E\) apparaît respectivement   \(n_1\) , \(n_2\) , ..., \(n_k\)  fois.
Le nombre de permutations de  \(n\) éléments avec   \(n_1\) , \(n_2\) , ..., \(n_k\)   répétitions est égal à \(\dfrac{n!}{n_1!n_2!\cdots n_k!}\) .

Énoncé 5

Combien d'anagrammes du mot « anagramme » existe-t-il, qu'elles aient un sens ou non ?